- Analogni ali digitalni filtri
- Aktivni ali pasivni filtri
- Filtri na osnovi zvoka ali radijske frekvence
- Filtri na podlagi izbire frekvence
- Nizkopropusni Butterworthov filter prvega reda
- Nizkopropusni filter Butterworth drugega reda
- Nizkopasovni nizkofrekvenčni Butterworthov filter za izpeljavo -liter
Električni filtri imajo veliko aplikacij in se pogosto uporabljajo v številnih vezjih za obdelavo signalov. Uporablja se za izbiro ali odpravo signalov izbrane frekvence v celotnem spektru danega vhoda. Tako se filter uporablja za prepuščanje signalov izbrane frekvence skozi njega ali za odpravo signalov izbrane frekvence, ki prehajajo skozi njega.
Trenutno je na voljo veliko vrst filtrov, ki se razlikujejo v mnogih pogledih. V prejšnjih vajah smo zajeli veliko filtrov, vendar najbolj priljubljena diferenciacija temelji na
- Analogno ali digitalno
- Aktivno ali pasivno
- Zvok ali radijska frekvenca
- Izbira frekvence
Analogni ali digitalni filtri
Vemo, da so signali, ki jih ustvarja okolje, analogne narave, medtem ko so signali, obdelani v digitalnih vezjih, digitalne narave. Za dosego želenega rezultata moramo uporabiti ustrezne filtre za analogne in digitalne signale. Zato moramo pri obdelavi analognih signalov uporabljati analogne filtre, med obdelavo digitalnih signalov pa digitalne filtre.
Aktivni ali pasivni filtri
Filtri so prav tako razdeljeni glede na komponente, uporabljene pri načrtovanju filtrov. Če zasnova filtra v celoti temelji na pasivnih komponentah (kot so upor, kondenzator in induktor), potem se filter imenuje pasivni filter. Po drugi strani pa, če pri načrtovanju vezja uporabimo aktivno komponento (op-amp, napetostni vir, tok), se filter imenuje aktivni filter.
Bolj priljubljeno je, da ima aktivni filter prednost pred pasivnim, saj ima številne prednosti. Nekaj teh prednosti je omenjenih spodaj:
- Brez težav z nalaganjem: V aktivnem vezju vemo, da uporabljamo opcijski ojačevalnik z zelo visoko vhodno in nizko izhodno impedanco. V tem primeru, ko na vezje priključimo aktivni filter, bo tok, ki ga vleče op-amp, zelo zanemarljiv, saj ima zelo visoko vhodno impedanco in s tem vezje ne bo obremenjeno, ko bo filter povezan.
- Prilagodljivost prilagoditve ojačanja : pri pasivnih filtrih ojačanje ojačanja ali ojačitve signala ni mogoče, ker ne bo nobenih posebnih komponent za izvajanje takšne naloge. Po drugi strani pa imamo v aktivnem filtru op-amp, ki lahko vhodnim signalom zagotovi visoko ojačanje ali ojačanje signala.
- Prilagodljivost prilagoditve frekvence: Aktivni filtri imajo večjo prilagodljivost pri prilagajanju frekvence izklopa v primerjavi s pasivnimi filtri.
Filtri na osnovi zvoka ali radijske frekvence
Sestavni deli, uporabljeni pri načrtovanju filtra, se spreminjajo glede na uporabo filtra ali kraj uporabe nastavitve. Na primer, RC filtri se uporabljajo za avdio ali nizkofrekvenčne aplikacije, LC filtri pa za radijske ali visokofrekvenčne aplikacije.
Filtri na podlagi izbire frekvence
Filtri se delijo tudi glede na signale, ki se prenašajo skozi filter
Nizkoprepustni filter:
Vsi signali nad izbranimi frekvencami se oslabijo. Imata dve vrsti - aktivni nizkoprepustni filter in pasivni nizkoprepustni filter. Frekvenčni odziv nizkopasovnega filtra je prikazan spodaj. Tu je pikčasti graf idealen graf nizkofrekvenčnega filtra, čisti graf pa dejanski odziv praktičnega vezja. To se je zgodilo, ker linearno omrežje ne more oddajati prekinitvenega signala. Kot je prikazano na sliki, potem ko signali dosežejo mejno frekvenco fH, pride do oslabitve in po določeni višji frekvenci se signali, podani na vhodu, popolnoma blokirajo.
Visokoprepustni filter:
Vsi signali nad izbranimi frekvencami se pojavijo na izhodu in signal pod to frekvenco se blokira. Imata dve vrsti - aktivni visokofrekvenčni filter in pasivni visokofrekvenčni filter. Frekvenčni odziv visokofrekvenčnega filtra je prikazan spodaj. Tu je pikčasti graf idealen graf visokofrekvenčnega filtra, čisti graf pa dejanski odziv praktičnega vezja. To se je zgodilo, ker linearno omrežje ne more oddajati prekinitvenega signala. Kot je prikazano na sliki, dokler signali nimajo frekvence, višje od mejne frekvence fL, doživljajo slabljenje.
Pasovni filter:
V tem filtru so na izhodu dovoljeni samo signali izbranega frekvenčnega območja, medtem ko se signali katere koli druge frekvence blokirajo. Frekvenčni odziv pasovnega filtra je prikazan spodaj. Tu je pikčasti graf idealen graf pasovnega filtra, čisti graf pa dejanski odziv praktičnega vezja. Kot je prikazano na sliki, lahko signali na frekvenčnem območju od fL do fH prehajajo skozi filter, medtem ko signali druge frekvence oslabijo. Več o pasovnem filtru preberite tukaj.
Filter za zavrnitev pasu:
Funkcija filtra za zavrnitev pasu je ravno nasprotna pasovnemu filtru. Vse frekvenčne signale, ki imajo frekvenčno vrednost v izbranem obsegu pasov na vhodu, filter blokira, signali katere koli druge frekvence pa se smejo prikazati na izhodu.
All pass filter:
Skozi ta filter lahko prehajajo signali katere koli frekvence, razen če pride do faznega premika.
Na podlagi aplikacije in stroškov lahko oblikovalec izbere ustrezen filter med različnimi vrstami.
Tu pa lahko na izhodnih grafih vidite, da želeni in dejanski rezultati niso popolnoma enaki. Čeprav je ta napaka dovoljena v mnogih aplikacijah, včasih potrebujemo natančnejši filter, katerega izhodni graf teži bolj k idealnemu filtru. Ta skoraj idealen odziv je mogoče doseči z uporabo posebnih tehnik oblikovanja, natančnih komponent in hitrih op-ojačevalnikov.
Butterworth, Caur in Chebyshev so nekateri najpogosteje uporabljeni filtri, ki lahko zagotovijo skoraj idealno krivuljo odziva. V njih bomo tukaj razpravljali o filtru Butterworth, saj je najbolj priljubljen med tremi.
Glavne značilnosti filtra Butterworth so:
- Je RC (upor, kondenzator) in Op-amp (operacijski ojačevalnik) filter
- Je aktiven filter, tako da se lahko ojačanje po potrebi prilagodi
- Ključna značilnost Butterworth-a je, da ima ravno pasovno pasovno območje in ravno zaustavitveno območje. To je razlog, da ga običajno imenujemo "ravno-ploski filter".
Zdaj pa za boljše razumevanje razpravljajmo o vezju modela nizkopasovnega filtra Butterworth.
Nizkopropusni Butterworthov filter prvega reda
Slika prikazuje model vezja prvovrstnega nizkoprepustnega filtra Butter.
V vezju imamo:
- Napetost 'Vin' kot analogni signal vhodne napetosti.
- Napetost 'Vo' je izhodna napetost operacijskega ojačevalnika.
- Upori "RF" in "R1" so negativni povratni upori operacijskega ojačevalnika.
- V vezju je prisotno eno samo RC omrežje (označeno z rdečim kvadratkom), zato je filter nizkoprepustni filter prvega reda
- „RL“ je odpornost na obremenitev, priključena na izhod op-amp.
Če uporabimo pravilo delilnika napetosti v točki "V1", lahko dobimo napetost na kondenzatorju kot, V 1 = V na tej strani -jXc = 1 / 2ᴫfc
Po zamenjavi te enačbe bomo imeli nekaj takega spodaj
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Zdaj je op-amp tukaj uporabljen v konfiguraciji negativne povratne informacije in v takem primeru je enačba izhodne napetosti podana kot, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
To je standardna formula in za več podrobnosti si lahko ogledate vezja op-amp.
Če v Vo predložimo enačbo V1, bomo imeli, V0 = (1 + R F / R 1)
Po prepisu te enačbe lahko dobimo, V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
V tej enačbi je
- V 0 / V in = ojačanje filtra v odvisnosti od frekvence
- AF = (1 + R F / R 1) = ojačanje pasovnega pasu filtra
- f = frekvenca vhodnega signala
- f L = 1 / 2ᴫRC = mejna frekvenca filtra. S to enačbo lahko izberemo ustrezne vrednosti uporov in kondenzatorjev, da izberemo mejno frekvenco vezja.
Če pretvorimo zgornjo enačbo v polarno obliko, bomo imeli,
S to enačbo lahko opazujemo spremembo velikosti ojačenja s spremembo frekvence vhodnega signala.
Primer 1: f <
Torej, ko je vhodna frekvenca zelo manjša od izločitvene frekvence filtra, je stopnja ojačanja približno enaka ojačitvi zanke op-ojačevalnika.
Case2: f = f L. Če je vhodna frekvenca enaka mejni frekvenci filtra,
Torej, ko je vhodna frekvenca enaka frekvenci preseka filtra, je stopnja ojačanja 0,707-krat večja kot zanka ojačevalnika.
Case3: f> f L. Če je vhodna frekvenca večja od mejne frekvence filtra,
Kot lahko vidite iz vzorca, bo ojačanje filtra enako ojačanju op-amp, dokler frekvenca vhodnega signala ne bo manjša od mejne frekvence. Ko pa frekvenca vhodnega signala doseže mejno frekvenco, se ojačanje rahlo zmanjša, kot se vidi v primeru dveh. In ko se frekvenca vhodnega signala še poveča, se ojačanje postopoma zmanjšuje, dokler ne doseže nič. Tako nizkoprepustni Butterworthov filter omogoča, da se vhodni signal prikaže na izhodu, dokler frekvenca vhodnega signala ni nižja od mejne frekvence.
Če smo za zgornje vezje narisali graf frekvenčnega odziva, bomo imeli,
Kot je razvidno iz grafa, bo ojačanje linearno, dokler frekvenca vhodnega signala ne prečka vrednosti frekvence mejne vrednosti in ko se to zgodi, se ojačanje znatno zmanjša, tako pa tudi vrednost izhodne napetosti.
Nizkopropusni filter Butterworth drugega reda
Slika prikazuje model vezja nizkoprepustnega filtra Butterworth drugega reda.
V vezju imamo:
- Napetost 'Vin' kot analogni signal vhodne napetosti.
- Napetost 'Vo' je izhodna napetost operacijskega ojačevalnika.
- Upori "RF" in "R1" so negativni povratni upori operacijskega ojačevalnika.
- V vezju je prisotno dvojno RC omrežje (označeno z rdečim kvadratkom), zato je filter nizkoprepustni filter drugega reda.
- „RL“ je odpornost na obremenitev, priključena na izhod op-amp.
Izpeljava nizkopasovnega filtra Butterworth drugega reda
Filtri drugega reda so pomembni, ker so zanje zasnovani filtri višjega reda. Dobiček filtra drugega reda nastavita R1 in RF, mejna frekvenca f H pa vrednost R 2, R 3, C 2 in C 3. Izpeljava za mejno frekvenco je podana na naslednji način, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Enačbo ojačenja napetosti za to vezje lahko najdemo tudi na podoben način kot prej in ta enačba je podana spodaj,
V tej enačbi je
- V 0 / V in = ojačanje filtra v odvisnosti od frekvence
- A F = (1 + R F / R 1) ojačanje pasovnega pasu filtra
- f = frekvenca vhodnega signala
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = mejna frekvenca filtra. S to enačbo lahko izberemo ustrezne vrednosti uporov in kondenzatorjev, da izberemo mejno frekvenco vezja. Tudi če izberemo isti upor in kondenzator v RC omrežju, potem enačba postane,
Z enačbo napetostnega ojačenja lahko opazujemo spremembo velikosti ojačenja z ustrezno spremembo frekvence vhodnega signala.
Primer 1: f <
Torej, ko je vhodna frekvenca zelo manjša od izločitvene frekvence filtra, je stopnja ojačanja približno enaka ojačitvi zanke op-ojačevalnika.
Case2: f = F H. Če je vhodna frekvenca enaka mejni frekvenci filtra,
Torej, ko je vhodna frekvenca enaka frekvenci preseka filtra, je stopnja ojačanja 0,707-krat večja kot zanka ojačevalnika.
Case3: f> f H. Če je vhodna frekvenca res višja od mejne frekvence filtra,
Podobno kot pri filtru prvega reda bo tudi ojačanje filtra enako ojačanju op-amp, dokler frekvenca vhodnega signala ne bo manjša od mejne frekvence. Ko pa frekvenca vhodnega signala doseže mejno frekvenco, se ojačanje nekoliko zmanjša, kot je razvidno iz primera dva. In ko se frekvenca vhodnega signala še poveča, se ojačanje postopoma zmanjšuje, dokler ne doseže nič. Tako nizkoprepustni Butterworthov filter omogoča, da se vhodni signal prikaže na izhodu, dokler frekvenca vhodnega signala ni nižja od mejne frekvence.
Če za zgornje vezje narišemo graf frekvenčnega odziva, bomo imeli,
Zdaj se morda sprašujete, kje je razlika med filtrom prvega in filtrom drugega reda ? Odgovor je v grafu, če natančno opazujete, lahko vidite, ko frekvenca vhodnega signala prečka mejno frekvenco, graf strmo upada in ta padec je bolj očiten v drugem vrstnem redu kot v prvem vrstnem redu. S tem strmim nagibom bo Butterworthov filter drugega reda bolj nagnjen k idealnemu grafu filtra v primerjavi z Butterworthovim filtrom enega reda.
Enako velja za nizkoprepustni filter Butterworth tretjega reda, za nizkofrekvenčni filter Butterworth tretjega reda itd. Višji je vrstni red filtra, bolj se graf ojačenja nagiba k idealnemu grafu filtra. Če narišemo graf dobička za Butterworthove filtre višjega reda, bomo imeli nekaj takega,
V grafu zelena krivulja predstavlja idealno krivuljo filtra in vidite, kako vrstni red Butterworthovega filtra povečuje njegov graf ojačenja, bolj se nagiba k idealni krivulji. Torej višji vrstni red izbranega filtra Butterworth, bolj idealna bo krivulja dobička. Glede na to filtra višjega reda ne morete zlahka izbrati, saj se natančnost filtra zmanjšuje s povečanjem vrstnega reda. Zato je najbolje, da izberete vrstni red filtra, pri čemer pazite na zahtevano natančnost.
Nizkopasovni nizkofrekvenčni Butterworthov filter za izpeljavo -liter
Po objavi članka smo prejeli pošto od Keitha Vogla, ki je upokojeni inženir elektrotehnike. Opazil je splošno razširjeno napako v opisu nizkoprepustnega filtra 2. reda in ponudil svojo razlago, da ga popravi, kot sledi.
Torej naj tudi jaz pridem prav.
Nato recite, da je mejna frekvenca -6db opisana z enačbo:
f c = 1 / (
)Vendar to preprosto ni res! Naj mi verjamete. Naredimo vezje, kjer je R1 = R2 = 160 in C1 = C2 = 100nF (0,1uF). Glede na enačbo bi morali imeti frekvenco -6db:
f c = 1 / (
) = 1 / (2 * 160 * 100 * 10 -9) ~ 9,947kHzPojdimo naprej in simulirajmo vezje in poglejmo, kje je točka -6db:
Oh, simulira na 6,33 kHz NE 9,947 kHz; vendar simulacija NI NAPAK!
Za vašo informacijo sem uporabil -6.0206db namesto -6db, ker je 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 malo bližje številu kot -6, in za natančnejšo simulacijo frekvence naših enačb sem želel uporabiti nekaj malo bližje kot samo -6db. Če bi resnično želel doseči frekvenco, opisano z enačbo, bi moral medpomniti med prvo in drugo stopnjo filtra. Natančnejše vezje naše enačbe bi bilo:
In tu vidimo, da naša točka -6.0206db simulira na 9.945kHz, veliko bolj blizu naših izračunanih 9.947kHZ. Upam, da mi verjamete, da je prišlo do napake! Zdaj pa se pogovorimo o tem, kako je prišlo do napake in zakaj je to samo slabo inženirstvo.
Večina opisi se bo začel s 1. st nizkoprepustni filter naročila, z impedanco, kot sledi.
In dobite preprosto prenosno funkcijo:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Potem pa pravijo, da če si dal 2 od teh skupaj, da bi 2 v nd naročila filter, dobiš:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Kjer je H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Kar pri izračunu povzroči enačbo fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Tu je napaka, odziv H 1 (s) NI neodvisen od H 2 (s) v vezju, ne morete reči H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
Impedanca H 2 (s) vpliva na odziv H 1 (s). In zakaj torej to vezje deluje, ker opamp izolira H 2 (s) od H 1 (s)!
Torej, zdaj bom analiziral naslednje vezje. Razmislite o našem prvotnem vezju:
Zaradi poenostavitve bom naredil R1 = R2 in C1 = C2, sicer se matematika resnično zaplete. Vendar bi morali biti sposobni izpeljati dejansko funkcijo prenosa in jo primerjati s simulacijami za potrditev, ko končamo.
Če rečemo, da je Z 1 = 1 / sC vzporedno z (R + 1 / sC), lahko vezje na novo narišemo kot:
Vemo, da je V 1 / V v = Z 1 / (R + Z 1); Kjer je Z 1 lahko kompleksna impedanca. In če se vrnemo na prvotno vezje, lahko vzporedno z (R + 1 / sC) vidimo Z 1 = 1 / sC
Prav tako lahko vidimo, da je Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), kar je H 2 (s). Toda H 1 (s) je veliko bolj zapleten, je Z 1 / (R + Z 1), kjer je Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); in NI 1 / (sRC + 1)!
Torej, zdaj lahko zmeljemo skozi matematiko za naše vezje; za posebni primer R1 = R2 in C1 = C2.
Imamo:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
In končno
Vo / V v = * = * = * = * = *
Tu lahko vidimo, da:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
ni 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
In..
Vo / V v = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Vemo, da je točka -6db (
/ 2) 2 = 0,5In vemo, ko je velikost naše prenosne funkcije 0,5, smo na frekvenci -6db.
Torej, rešimo to:
-Vo / V v - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Naj bo s = jꙍ, imamo:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Če želite poiskati velikost, vzemite kvadratni koren kvadrata realnega in namišljenega izraza.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
kvadriranje obeh strani:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Razširitev:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Naj bo x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Uporaba kvadratne enačbe za reševanje x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
) / 2 = ( - 7) / 2.. edini pravi odgovor je +
Ne pozabite
x = (ꙍRC) 2
zamenjava x
(ꙍRC) 2 = (
- 7) / 2 ꙍRC = ꙍ = ( ) / RCZamenjava ꙍ z 2
f c2.
f c = ( ) / RCf c = (
) / 2 RC… (-6db) Ko je R1 = R2 in C1 = C2Grdo, morda mi ne verjamete, zato preberite… Za prvotno vezje, ki sem vam ga dal:
f c = (
) / 2 * 160 * (100 * 10 -9) f c = (0,63649417747009060684924081342512) / 2 * 160 * (100 * 10 -9) f c = 6331,3246620984375557174874117881 ~ 6,331kHzČe se vrnemo k prvotni simulaciji tega vezja, smo videli frekvenco -6db pri ~ 6,331kHz, kar se natančno ujema z našimi izračuni!
Simulirajte to za druge vrednosti, videli boste, da je enačba pravilna.
Vidimo lahko, da ko smo buffer med 1. st Da nizkoprepustni filtri lahko uporabimo enačbo
f c = 1 / (
)In če je R1 = R2 in C1 = C2, lahko uporabimo enačbo:
f c = 1 /
Toda, če ne pufra med dvema 1 st da filtrira naše enačbi (dano R1 = R2 C1 = C2) postane:
f c = (
) / 2 RCf c ~ 0,6365 / 2
RCOpozorilo, ne poskušajte reči:
f c = 0,6365 / (
)Upoštevajte, H 2 (s) učinki H 1 (i); ne pa obratno, filtri niso simetrični, zato tega ne domnevajte!
Torej, če boste ostali pri trenutni enačbi, priporočam vezje, ki je bolj takšno: