- 1. Gaussov zakon o električni energiji
- 2. Gaussov zakon magnetizma
- 3. Faradayev zakon indukcije
- 4. Amperov zakon
Maxwellove enačbe so osnove elektromagnetne teorije, ki predstavlja sklop štirih enačb, ki se nanašajo na električno in magnetno polje. Namesto da bi navedli matematični prikaz Maxwellovih enačb, se bomo v tem članku osredotočili na dejanski pomen teh enačb. Maxwellova prva in druga enačba obravnavata statična električna polja in statična magnetna polja. Maxwellova tretja in četrta enačba obravnavata spreminjanje magnetnih polj oziroma električnih polj.
Maxwellove enačbe so:
- Gaussov zakon o električni energiji
- Gaussov zakon magnetizma
- Faradayev zakon indukcije
- Amperov zakon
1. Gaussov zakon o električni energiji
Ta zakon določa, da je električni tok iz zaprte površine sorazmeren celotnemu naboju, ki ga ta površina obdaja. Gaussov zakon obravnava statično električno polje.
Upoštevajmo pozitiven točkovni naboj Q. Vemo, da so električni tokovi usmerjeni navzven od pozitivnega naboja.
Vzemimo zaprto površino z Charge Q zaprt v njej. Vektor območja je zanj vedno izbran Normal, ker predstavlja orientacijo površine. Naj bo kot, ki ga naredi vektor električnega polja z vektorjem površine, θ.
Električni tok ψ je
Razlog za izbiro pikčastega izdelka je, da moramo izračunati, koliko električnega toka prehaja skozi površino, ki jo predstavlja vektor normalne površine.
Iz zakona o kulomih vemo, da je električno polje (E) zaradi točkovnega naboja Q / 4πε 0 r 2.
Glede na sferično simetrijo je Integralna oblika Gaussovega zakona:
Zato je električni tok Ψ = Q zaprt / ε 0
Tu priloženi Q predstavlja vektorsko vsoto vseh nabojev znotraj površine. Območje, ki obdaja naboj, je lahko poljubne oblike, vendar moramo za uporabo Gaussovega zakona izbrati Gaussovo površino, ki je simetrična in ima enakomerno porazdelitev naboja. Gaussova površina je lahko valjasta ali kroglasta ali ravninska.
Da bi izpeljali njegovo diferencialno obliko, moramo uporabiti divergenčni izrek.
Zgornja enačba je razlika oblika Gauss zakona ali Maxwell enačbi sem.
V zgornji enačbi ρ predstavlja prostorninsko gostoto naboja. Ko moramo Gaussov zakon uporabiti na površini z linijskim nabojem ali porazdelitvijo površinskega naboja, je primerneje enačbo predstaviti z gostoto naboja.
Zato lahko sklepamo, da razhajanje električnega polja nad zaprto površino daje količino naboja (ρ), ki ga ta zapira. Z uporabo divergencije na vektorskem polju lahko vemo, ali površina, zaprta z vektorskim poljem, deluje kot vir ali ponor.
Razmislimo o kuboidu s pozitivnim nabojem, kot je prikazano zgoraj. Ko uporabimo divergenco za električno polje, ki izstopa iz škatle (kuboid), rezultat matematičnega izraza pove, da škatla (kuboid) deluje kot vir izračunanega električnega polja. Če je rezultat negativen, nam pove, da škatla deluje kot pomivalno korito, tj. Škatla vanjo zapira negativni naboj. Če je odstopanje nič, to pomeni, da v njem ni naboja.
Iz tega bi lahko sklepali, da obstajajo električni monopoli.
2. Gaussov zakon magnetizma
Vemo, da linija magnetnega pretoka teče od severnega pola do južnega pola navzven.
Ker obstajajo vodniki magnetnega pretoka zaradi stalnega magneta, bo s tem povezana gostota magnetnega pretoka (B). Ko uporabimo izrek o divergenci na površini S1, S2, S3 ali S4, vidimo, da število pretočnih linij, ki vstopajo in izstopajo iz izbrane površine, ostaja enako. Zato je rezultat izreka o divergenci nič. Tudi na površini S2 in S4 je divergenca enaka nič, kar pomeni, da niti severni niti južni pol ne delujeta posebej kot vir ali ponor kot električni naboj. Tudi če uporabimo divergenco magnetnega polja (B) zaradi tokovne žice, se izkaže, da je nič.
Integralna oblika Gaussovega zakona magnetizma je:
Diferencialna oblika Gaussovega zakona magnetizma je:
Iz tega bi lahko sklepali, da magnetni monopoli ne obstajajo.
3. Faradayev zakon indukcije
Faradayev zakon določa, da bo pri spremembi magnetnega pretoka (ki se spreminja glede na čas) tuljava ali kateri koli prevodnik v tuljavi induciran EMR. Lenz je izjavil, da bo inducirani EMF usmerjen v takšno smer, da bo nasprotoval spremembi magnetnega pretoka, ki ga proizvaja.
Na zgornji sliki je, ko je prevodna plošča ali prevodnik pod vplivom spreminjajočega se magnetnega polja, v njem induciran krožni tok. Tok se inducira v takšni smeri, da magnetno polje, ki ga tvori, nasprotuje spreminjajočemu se magnetu, ki ga je ustvaril. Iz te ilustracije je razvidno, da spreminjanje ali spreminjanje magnetnega polja ustvarja krožno električno polje.
Iz Faradayevega zakona, emf = - dϕ / dt
To vemo, ϕ = zaprta površina ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Električno polje E = V / d
V = ʃ E.dl
Ker se električno polje spreminja glede na površino (curl), obstaja potencialna razlika V.
Zato je integralna oblika Maxwellove četrte enačbe,
Z uporabo Stokeovega izreka
Razlog za uporabo Stokeovega izreka je, da ko zavijemo zavoj vrtečega se polja nad zaprto površino, se notranje komponente curl-a vektorja medsebojno prekinejo, kar ima za posledico ovrednotenje vektorskega polja vzdolž zaprte poti.
Zato lahko to zapišemo,
Diferencialna oblika Maxwellove enačbe je
Iz zgornjega izraza je razvidno, da magnetno polje, ki se spreminja glede na čas, ustvarja krožno električno polje.
Opomba: V elektrostatiki je zvitek električnega polja enak nič, ker izstopa radialno navzven iz naboja in z njim ni povezana nobena vrtljiva komponenta.
4. Amperov zakon
Amperejev zakon določa, da ko električni tok teče skozi žico, tvori okoli nje magnetno polje. Matematično kaže, da linijski integral magnetnega polja okoli zaprte zanke daje skupni tok, ki ga ta zapre.
ʃ B .dl = μ 0 I zaprt
Ker se magnetno polje vijuga okoli žice, lahko Stokeov izrek uporabimo za Amperejev zakon.
Zato enačba postane
Zaprti tok lahko predstavimo v smislu gostote toka J.
B = μ 0 H z uporabo te relacije lahko izraz zapišemo kot
Ko uporabimo divergenco za zvitek vrtljivega vektorskega polja, je rezultat enak nič. To je zato, ker zaprta površina ne deluje kot vir ali umivalnik, tj. Število pretoka, ki vstopa in izstopa iz površine, je enako. To lahko matematično predstavimo kot,
Oglejmo si vezje, kot je prikazano spodaj.
Na vezje je priključen kondenzator. Ko uporabimo divergenco v območju S1, rezultat pokaže, da ni nič. V matematičnem zapisu,
V tokokrogu teče tok, v kondenzatorju pa se naboji prenesejo zaradi spreminjanja električnega polja na ploščah. Torej fizično tok ne teče skozenj. Maxwell je ta spremenljivi električni tok skoval kot izpodrivni tok (J D). Toda Maxwell je skoval izraz Displacement Current (J D), upoštevajoč simetrijo Faradayevega zakona, tj. Če magnetno polje, ki se spreminja s časom, ustvari električno polje, potem s simetrijo spreminjanje električnega polja ustvari magnetno polje.
Curl jakosti magnetnega polja (H) v območju S1 je
Integralno obliko Maxwellove četrte enačbe lahko izrazimo kot:
Diferencialna oblika Maxwellove četrte enačbe je:
Vse te štiri enačbe v celostni ali diferencialni obliki skupaj imenujemo Maxwellova enačba.